LE REJET NATUREL ET LE CARRE IMAGINAIRE = CARRE MAGIQUE
1. LE REJET SIMPLE GRANDE BANDE.
A partir de ce qui précède, on peut déduire les rejets suivants, lorsqu’une bille B1, coup naturel, percute B2, selon sa position de départ le long de la grande bande.
Les mouches figurent aux emplacements 1, 2, 3, 4.
On pourrait utiliser 10, 20, 30, 40, ce qui permettrait de situer 15, 25, 35.
On voit que (exemple 1) lorsque B2 se situe à la position horizontale 1, B1 est rejetée ‘naturellement’ à 45° sur la petite bande en 1, puis repart vers la grande bande opposée en 3.
La somme des deux chiffres est toujours de 4 (ou de 40), ce qui correspond au rejet naturel de 4 mouches que l’on a évoqué précédemment.
Exemple donné à partir de la grande bande de droite, face au joueur.
CAS 1
Repérez bien les numérotations par rapport au joueur.
Donc (exemple 3) une bille B2 située à hauteur horizontalement de la mouche 3 le long de la grande bande, rejette la bille B1 en 3 sur la petite bande, puis celle-ci touche la grande bande opposée en 1.
Ainsi si la bille B3 se situe sur ce trajet, le point est fait.
Le rejet vers la grande bande opposée (de départ) s’effectue avec une incidence de +6 environ : donc 1 arrive +/- en 7 ; 2 en 8 ; 3 en 9. Une dose d’effet permet de ‘raccourci’ l’arrivée de B1, de 9 en 8 par exemple.[1] voir Annexe 2 - Gestion de l'Effet sur la Bille 1.
CAS 1-1 :
Ici, B1 et B2 sont toujours alignées verticalement, mais décalées verticalement sur la première mouche ‘1’.
Le rejet naturel est bien évidemment le même. Pour calculer le point sur lequel est rejeté B1, on peut procéder de la façon suivante :
Exemple 1 : B2 se trouve en position (1 ;1) soit 1 + 1 = 2 => B1 est rejetée en 2 sur la petite bande.
Exemple 2 : B2 se trouve en position (1 ;2) soit 1 + 2 = 3 => B1 est rejetée en 3 sur la petite bande.
Exemple 3 : même logique.
Exemple 4 : B2 se trouve en (1 ;4) soit 1 + 4 = 5 => B1 est rejetée en 5.
La mouche 5 se trouve dans l’alignement horizontal à gauche de la position 4 en dehors du billard – ce qui demande un effort d’abstraction lorsque l’on joue. Elle peut être plus facilement être localisée en retenant la mouche 5 qui se situe après l’angle immédiatement après la mouche 4.
En effet, il s’agit d’un carré, la diagonale est à 45°, donc le trajet franchit régulièrement chaque carré de « une mouche de côté » par sa diagonale.
Rappelons que l’on pourrait aussi numéroter 10, 20, 30, 40 ce qui faciliterait simplement la localisation des positions intermédiaires 5, 15, 25, 35, 45.
2. LE REJET SIMPLE DANS LA LARGEUR.
Le rejet de B1 s’effectue de la même façon si l’on joue dans la largeur :
CAS 2-1 : CAS 2-2 :
Repérez bien les numérotations par rapport au joueur.
Observation : Si l’on applique un effet[1] de 1 procédé sur B1 on décale le rejet de 1 mouche lorsque B1 touche la 1ère bande (peu ou pas d’incidence de l’effet sur les billes entre elles quant au parcours de B1).
3. LE REJET SIMPLE DANS LA LARGEUR : LE CARRE – REJET ANGLES FERMÉS.
Comme indiqué auparavant, un billard peut être décomposé en 2 carrés contingents.
Cela peut permettre de mieux appréhender le parcours des billes en considérant le rejet naturel.
Dans les exemples qui suivent, l’impact de B1 sur B2 s’effectue avec une incidence au plus égale à 90°, que je propose de regrouper sous la dénomination des « rejets fermés ».
Le site billard-passion.fr expose un système 1 bande comparable à ce qui est évoqué ci-après avec une approche différente : billard-passion.fr
3-1 DANS CE PREMIER EXEMPLE, B2 SE TROUVE LE LONG DE LA GRANDE BANDE : POSITION VERTICALE 0.
RAPPEL : Impact du coup de queue 1 procédé ½ au-dessus du centre
On a le schéma suivant : CAS 3-1
Repérez bien les numérotations par rapport au joueur.
Dans ces exemples B2 est sur le bord de la grande bande droite du billard : position verticale « 0 ».
- Exemple 1 : B1 part sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) de B2 touche B2 et se dirige naturellement dans le coin supérieur gauche en position d’arrivée « 4 ».
- Exemple 2 : B1 part de -1, touche B2, rejet naturel de 4 => elle arrive en -1 (départ) + 4 (rejet) donc en 3 sur la grande bande opposée.
- Exemple 3 : B1 part de -2, touche B2, rejet naturel de 4 => elle arrive en -2 (départ) + 4 (rejet) donc en 2 sur la grande bande opposée.
RAPPEL : l’itinéraire de B1 dépend de plusieurs facteurs, dont notamment, le geste – appuyé ou non, allongé, etc… Chaque joueur pourra étalonner son geste en fonction du résultat théorique présenté ci-dessous et les trajectoires qu’il obtient.
Le coup de queue doit être régulier et rectiligne à l’exclusion de tout effet ou fauchage, et, mi-bille.
Exemples complémentaires :
CAS 3-1 BIS
Repérez bien les numérotations par rapport au joueur.
- Exemple 3-1 : B1 part de la position -3, carambole B2 sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) et du fait de l’incidence du rejet naturel 4 se dirige en position 1 sur la grande bande opposée.
- Exemple 3-2: même logique, B1 part de la position -4, carambole B2 sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) et du fait de l’incidence du rejet naturel 4 se dirige en position 0 sur la grande bande opposée.
- Exemple 3-3: La bille B1 part de la position -5 :
Noter cet aspect important : la mouche -5 se trouve dans l’alignement vertical au-dessus de la mouche -4, en dehors du billard – ce qui demande un effort d’abstraction lorsque l’on joue. Elle peut être plus facilement être localisée en retenant la mouche -5 qui se situe après l’angle immédiatement après la mouche -4.
En effet, il s’agit d’un carré, la diagonale est à 45°, donc le trajet franchit régulièrement chaque carré de « une mouche de côté » par sa diagonale. Il y a cependant une déviation grandissante plus on s’éloigne de 4, c’est-à-dire de la diagonale, et surtout après 5. Voir note préalable en avant-propos.
Dans cet exemple 3-3 la logique reste la même : B1 part de la position -5, carambole B2 sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) et du fait de l’incidence du rejet naturel 4 se dirige en position -1 sur la grande bande opposée.
En effet, B1 sort du carré d’origine, et atteint la grande bande opposée à B2 en dessous de la mouche 0, donc -1.
On voit avec l’exemple 3-3 que l’on a un début d’explication sur les points croisés, qui, pour moi, ont toujours été difficiles à appréhender de façon logique. Rappelons qu’il s’agit d’un coup naturel, donc sans effet.
3-2 B2 SE TROUVE SUR L’ALIGNEMENT DE LA MOUCHE ‘1’ : POSITION VERTICALE ‘1’, PUIS ‘2’, etc… :
CAS 3-2
Repérez bien les numérotations par rapport au joueur.
On peut utiliser la même démarche logique pour prévoir le déplacement de B1 après son carambolage avec B2 :
- Exemple 4 : B1 part sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) de B2 touche B2 et se dirige naturellement dans le coin supérieur gauche en position d’arrivée « 5 », selon le calcul :
Départ 0 + Position horizontale de B2 = 0 + Position verticale de B2 = 1 + rejet 4 => arrivée en mouche 5.
Noter à nouveau cet aspect important : la mouche 5 se trouve dans l’alignement vertical sous la mouche 4, en dehors du billard – ce qui demande un effort d’abstraction lorsque l’on joue. Elle peut être plus facilement localisée en retenant la mouche 5 qui se situe après l’angle immédiatement après la mouche 4. Il y a cependant une déviation grandissante plus on s’éloigne de 4, c’est-à-dire de la diagonale, et surtout après 5. Voir note préalable en avant-propos.
- Exemple 5 : B1 part sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) de B2, touche B2 et se dirige naturellement dans le coin supérieur gauche en position d’arrivée « 6 », selon le calcul :
Départ 0 + Position horizontale de B2 = 0 + Position verticale de B2 = 2 + rejet 4 => arrivée en mouche 6.
- Exemple 6 : B1 part sur l’alignement horizontal 0 (bord du carré) de B2, touche B2 et se dirige naturellement dans le coin supérieur gauche en position d’arrivée « 7 », selon le calcul :
Départ 0 + Position horizontale de B2 = 0 + Position verticale de B2 = 3 + rejet 4 => arrivée en mouche 7.
Dans tous les exemples qui précèdent :
- Ou bien B1 se trouvait dans l’alignement horizontal de B2.
- Ou bien B2 se trouvait le long de la bande. Dès lors le rejet de B1 s’effectuait immédiatement après avoir carambolé B2.
4. ÉVOLUTION : SI B2 N’EST PAS LE LONG DE LA GRANDE BANDE.
Lorsque B2 n’est pas positionnée le long de la grande bande (position verticale différente de « 0 ») il faut faire évoluer légèrement la démarche logique de détermination du trajet de B1.
Il convient, en premier lieu de mesurer l’écart ou le biais qui existe, entre B1 et B2, ainsi que montré ci-dessous, Merci à mon ami Laurent LANGEVIN !
CAS 4-1 EXPLICATION DU CALCUL DU BIAIS
Le biais comprend, d’une part la distance entre B1 et B2 correspondant à la position de départ de B1 (-1 dans l’exemple 7 et -3 dans l’exemple 9) et, d'autre part la projection à la bande[1], (-0,33 dans l’exemple 7 et -1 dans l’exemple 9).
Le ‘point de projection’ correspond à la projection à la bande de l’axe de visée de B1 à travers B2.
Ce n’est pas le point de ‘rejet’ de B1 à la bande après carambolage de B2.
[1] Voir en Annexe 3 le calcul théorique du point de projection, et en Annexe 4 un mémo pratique. Thalès, c’est du billard !!!!
RAPPEL : l’itinéraire de B1 dépend de plusieurs facteurs, dont notamment, le geste – appuyé ou non, allongé, etc… Chaque joueur pourra étalonner son geste en fonction du résultat théorique présenté ci-dessous et les trajectoires qu’il obtient.
CAS 4-2 :
- Exemple 7 : Le biais de B1 est de 1,33 mouche en retrait horizontalement par rapport à B2 en incluant la projection à la bande après B2 (voir Cas 4-1). Le calcul de trajet de B1 après carambolage se détermine ainsi :
Biais de B1 = -1,33 + rejet 4 => rejet de 2,67 (échelle jaune) à partir du point horizontal ‘0’ de B2.
- Exemple 8 :
Biais de B1 = -2,67 + rejet 4 => rejet de 1,33 à partir du point horizontal ‘0’ de B2.
- Exemple 9 :
Biais de B1 = -4 + rejet 4 => arrivée en position 0 à partir du point horizontal ‘0’ de B2.
- Exemple 10 : Dans ce cas B1 sort de son carré d’origine.
Distance de B1 = -5,33 + rejet 4 => arrivée en mouche -1,33 (cad dans le carré contigu, on applique bien une numérotation logique).
On voit avec ces exemples (9 et 10 surtout) que l’on a un début d’explication sur les points croisés, qui, pour moi, ont toujours été difficiles à appréhender de façon logique (développé au chapitre 6).
5. LE CARRÉ FLOTTANT = LE CARRÉ IMAGINAIRE.
Tous ces exemples sont intéressants, mais les billes sont rarement aussi bien disposées dans l’un ou l’autre des carrés contingents du billard.
L’idée m’est ainsi venue du ‘carré imaginaire’, c’est-à-dire de déplacer mentalement le carré en fonction de la position de B2 qui prendrait ainsi une position horizontale ‘0’.
Ceci permet de simplifier les calculs et la prévision des trajectoires.
5-1 LE CARRE IMAGINAIRE.
On retrouve les exemples du CAS 4, transposés, mais la logique reste la même.
Évidemment, le calcul s’adapte lorsque que B1 est ‘entre deux mouches’, voir exemples 12 et 13.
Lorsque B1 et B2 sont alignés horizontalement (Cas 11), on tient compte de la position verticale pour calculer l’incidence du rejet à la bande (voir cas 1 et 2 ci-avant).
Lorsque ce n’est pas le cas, il faut tenir compte de l’Incidence Projection (voir cas 4-1).
5-2 POUR UN EXEMPLE SUR UN POINT D’ÉCHELLE EN BORD DU BILLARD.
CAS 5-2
Ce cas permet de visualiser le ‘carré imaginaire’ en bordure de billard, en présentant des cas de points d’échelle.
L’incidence est calculée de façon exacte.
On voit ici la figuration de l’arrivée de B1 dans le carré imaginaire ‘en dehors du billard’ (Ex 13-3), ainsi que l’incidence d’un effet de +1 (Ex 13-2 par rapport à 13-1).
5-3 EXEMPLES COMPLÉMENTAIRES ‘EN DEHORS DU BILLARD’.
La démarche est identique à celle du cas 5-2. Il faut compter ‘en dehors du billard’ et suivre la bande en tournant.
5-4 LES POINTS ‘DANS LE VIDE’.
Dans les exemples qui suivent :
On appellera POINTS DANS LE VIDE les points pour lesquels le départ de B1 a lieu au milieu du billard et se dirige vers une petite bande.
Dans ce cas, il est impossible de s’appuyer sur une bande qui se trouve près de B1 pour décompter le biais.
De même la position de B3 peut être difficile à apprécier.
Voici l’exemple d’une de ces situations :
Il s’agit de définir une approche qui permet de déterminer le biais et le trajet de B1.
On utilisera le carré imaginaire comme précédemment.
En fait, par rapport aux cas précédents, le billard se trouve ‘tourné’.
5-4.1 LE CALCUL DU BIAIS.
On va pouvoir utiliser le principe du Carré Imaginaire qui consiste à déplacer mentalement le carré en fonction de la position de B2 qui prend ainsi une position horizontale ‘0’.
Nous allons calculer le biais à partir des positions de B1 et B2.
Dans les exemples suivants, B2 est en position 1 (qui deviendra ‘0’ pour les calculs ultérieurs).
Le calcul de la position de B1 peut s’effectuer ainsi, selon le cas dans lequel on se trouve :
- L’alignement de B1-B2 peut s’apprécier en utilisant les mouches de la petite bande opposée (Cas 1).
- L’alignement de B1-B2 peut s’apprécier en utilisant le principe du Carré Imaginaire (Cas 2).
- L’alignement de B1-B2 ne peut pas s’apprécier selon les deux cas précédents, c’est-à-dire lorsque la projection de l’axe B1-B2 sur la grande bande se situe entre les mouches 4 et 8 (Cas 3).
CAS 1 – BIAIS SUR LA LONGUEUR CAS 3 – BIAIS AUTRES CAS
DU BILLARD
CAS 2 – BIAIS SUR LE CARRÉ
IMAGINAIRE
- CAS 1 : Calcul du biais sur la longueur du billard :
On voit dans notre exemple que le biais sur la longueur du billard est de 2,5 (3,5 en arrivée et 1 en départ).
Le biais sur le demi-billard est donc de 2,5/2 soit 1,25, comme on le voit si l’on observe le franchissement du biais à la position du demi-billard, sur le bord fictif du Carré Imaginaire.
- CAS 2 : Calcul du biais avec le Carré Imaginaire :
Dans ce cas, on utilise le Carré Imaginaire de la façon habituelle en décomptant sur la petite bande utilisable, puis en repartant du coin du carré à la position 4.
Dans notre exemple, on voit qu’il y a 3 mouches sur la petite bande (on compte sur la petite bande utilisable, puisqu’on ne peut pas compter sur le bord ‘fictif’ du carré imaginaire qui se trouve au milieu du billard), et 1 mouche en repartant du coin du Carré Imaginaire en position 4 sur la grande bande de droite.
Le biais est donc de 3 + 1 = 4 ; ce que l’on confirme visuellement puisque les deux côtés autres que l’hypoténuse ont une longueur égale à 3 mouches.
- CAS 3 : Calcul du biais dans les autres cas :
Cette situation est un peu plus compliquée.
La première étape consiste à calculer le biais à partir de la mouche 4, puis à utiliser un coefficient en fonction de la position à laquelle l’axe B1-B2 coupe la grande bande.
B1-B2 coupe la grande bande en mouche |
Le coefficient à appliquer est de |
soit |
5 |
4/5 (mouche 4/mouche 5) |
0,80 |
6 |
4/6 (mouche 4/mouche 6) |
0,67 |
7 |
4/7 (mouche 4/mouche 7) |
0,58 arrondi à 0,60 |
8 |
4/8 (mouche 4/mouche 8) |
0,50 |
Prenons l’exemple suivant :
En fonction de la position de B2, on voit que l’axe du biais coupe la petite bande en mouche 1.
La première opération consiste à calculer le biais comme si la droite B1-B2 coupait la grande bande en mouche 4 de la grande bande. Dans l’exemple donné, le calcul donne un résultat de 3, puisque l’axe part de la mouche 1 de la petite bande et va couper la grande bande en position 4.
La difficulté réside dans l’impossibilité de ‘lire’ à quel endroit l’axe B1-B2 franchit le bord fictif du Carré Imaginaire.
On va donc le calculer à partir du biais de la position à 4 mouches – qu’on appellera Biais-référence - et de l’application d’un coefficient :
- Si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 5, le biais est calculé à : 3 * 0,80 = 2,40 ; valeur égale à la valeur réelle qui est de 2,40, ainsi que c’est précisé sur le schéma ci-dessus.
- Si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 6, le biais est approximé à : 3 * 0,67 (ou 2/3) = 2,00 ; valeur égale à la valeur réelle qui est de 2,00, ainsi que c’est précisé sur le schéma ci-dessus.
- Si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 7, le biais est approximé à : 3 * 0,60 = 1,80 ; valeur proche de la valeur réelle qui est de 1,71[1], ainsi que c’est précisé sur le schéma ci-dessus. Ceci est dû à l’utilisation d’un coefficient arrondi à 0,60 plutôt que le coefficient réel de 4/7 soit 0,5714.
- Si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 8, le biais est égal à : 3 * 0,50 = 1,50 ; valeur égale à la valeur réelle, puisque ce cas nous renvoie au cas N°1 de calcul du biais sur la longueur du billard (voir 5-4-1-1 ci-dessus).
[1] Valeur validée par mesure sur papier millimétré.
Prenons un autre exemple :
A partir d’un biais-référence de 1,50 pour la mouche 4, on calcule les biais de :
- 1,20 si l’axe B1-B2 coupe la grande bande en mouche 5, contre un biais réel de 1,20 ;
- 1,01 si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 6, contre un biais réel de 1,00 ;
- 0,90 si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 7, contre un biais réel de 0,86 ;
- 0,75 si B1-B2 coupe la grande bande en mouche 8, un biais réel de 0,75 (voir 5-4-1-1).
Voici une récapitulation des biais calculés de mouche en mouche, à partir d’un biais de référence mouche 4 – dans la pratique, le résultat des calculs sera arrondi :
AXE B1-B2 INTERSECTION MOUCHE |
|||||
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
Coefficient |
1,00 |
0,80 |
0,67 |
0,60 |
0,50 |
BIAIS MOUCHE 4 |
BIAIS CALCULÉ |
||||
3 |
3,00 |
2,40 |
2,01 |
1,80 |
1,50 |
2,5 |
2,50 |
2,00 |
1,68 |
1,50 |
1,25 |
2 |
2,00 |
1,60 |
1,34 |
1,20 |
1,00 |
1,5 |
1,50 |
1,20 |
1,01 |
0,90 |
0,75 |
1 |
1,00 |
0,80 |
0,67 |
0,60 |
0,50 |
Calculs sans arrondi.
5-4.1 PRISE EN COMPTE DU REJET.
5-4.1.1 APPRÉCIATION DU REJET APRÈS CALCUL DU BIAIS DANS LA LONGUEUR.
Le cas se présente ainsi :
Le biais est de 3,50 dans la longueur, donc de 1,75 apprécié sur le demi-billard (pour le calcul du biais voir 5-4-1-1).
Le rejet est donc de 2,25, soit 4 – 1,75, à partir de la projection horizontale de B2 à la bande.
Le trait plein noir montre le trajet de B1 si le coup est joué sans effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet.
Le trait plein bleu montre le trajet de B1 si le coup est joué avec 1 dose d’effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet.
Remarque : le rejet est de 2,25 apprécié à la mouche 4 => apprécié à la mouche 5 il est de 2,25/0,80 = 2,81.
On voit que le rejet atteint 3 un peu après la mouche 5.
5-4.1.1 APPRÉCIATION DU REJET EN UTILISANT LE CARRÉ IMAGINAIRE.
Le biais est de 3 (2 + 1) (pour le calcul du biais voir 5-4-1-2).
Le rejet est donc de 1 (4 – 3) à partir de la projection horizontale de B2 à la bande. Son appréciation est figurée en gris clair. On peut utiliser la projection sur la petite bande en bas (pointillé vertical bleu) pour visualiser le rejet sur le bord fictif du Carré Imaginaire
Comme dans l’exemple précédent, le trait plein noir montre le trajet de B1 si le coup est joué sans effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet.
Le trait plein bleu montre le trajet de B1 si le coup est joué avec 1 dose d’effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet.
5-4.1.1 APPRÉCIATION DU REJET APRÈS CALCUL DU BIAIS SUR LES MOUCHES 4 À 8.
Rappelons qu’il convient tout d’abord de :
- Déterminer le biais-référence de la mouche 4 ;
- Calculer le biais réel en fonction de l’axe B1-B2 et de son intersection avec la mouche de la grande bande.
- Puis calculer ensuite le rejet qui sera égal à 4 moins le biais réel.
Prenons l’exemple suivant :
Le biais-référence (tracé petit pointillé bleu) est de 3,25.
On voit que l’axe B1-B2 coupe la grande bande en mouche 6, donc le biais réel est de 3,25 * 0,67 soit 2,16.
(calcul mental : 3 * 0,67 ou 2/3 = 2,00 + (0,25 * 0,67 ou 2/3) = 0,16 car 25/3 = 8 donc 2/3 è 16, d’où 2,16)
On retient un résultat de 2,25 plus simple à utiliser (au lieu de 2,16).
Le rejet est donc de 4 – 2,25 = 1,75, apprécié au niveau de la mouche 4.
On peut le visualiser en prenant l’axe entre les 2 petites bandes matérialisé par l’axe vertical gros pointillé bleu.
Le trait plein noir montre le trajet de B1 si le coup est joué sans effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet, coupant le bord fictif du Carré Imaginaire en 1,75.
Le trait plein bleu montre le trajet de B1 si le coup est joué avec 2 doses d’effet, permettant de caramboler B3 se trouvant sur ce trajet, et coupant le Carré Imaginaire en 3,75 (compter en tournant, sachant que l’angle du Carré Imaginaire correspond à 2,50).
Remarque : le rejet est de 1,75 apprécié à la mouche 4 => apprécié à la mouche 5, il est de 1,75/0,80 = 2,19. Ce que l’on constate sur le schéma. (noter que 1,75/0,80 = 1,75*1,25 soit 1,75 + 1,75/4 ; sachant que 1,75/4 peut être retenu pour 0,40 (0,40*4 = 1,60) et donc on aurait : 1,75 + 0,40 = 2,15, chiffre peu différent de 2,19).
Apprécié à la mouche 6, il est de 1,75/0,67 = 2,61 ; on voit que le trajet de B1 coupe la grande bande, c’est-à-dire le repère 2,50, un peu avant la mouche 6. (noter que 1,75/0,67 = 1,75 * 1,50 = 1,75 + 1,75/2, soit 1,75 + 0,88 = 2,63).